Для нахождения производной функции ( f(x) = 1 + 2\sqrt{x} ), сначала найдем производную от каждого слагаемого:

Производная от константы 1 равна 0, так как константа не меняется при изменении x.

Производная от ( 2\sqrt{x} ) равна ( 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} ).

Теперь суммируем производные от каждого слагаемого:

( f'(x) = 0 + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} ).

Теперь найдем значение производной в точке ( x = 9 ):

( f'(9) = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} ).

Итак, ( f'(9) = \frac{1}{3} ).