Пусть у нас есть четыре двузначных числа, записанных с помощью двух заданных цифр a и b. Тогда эти числа могут быть представлены в виде:

10a + b,
10b + a,
10a + a,
10b + b.

Сумма этих чисел будет равна:

10a + b + 10b + a + 10a + a + 10b + b = 22a + 22b = 22(a + b).

Теперь предположим, что сумма этих четырех чисел является квадратом целого числа, то есть:

22(a + b) = n^2, где n - целое число.

Так как 22 делится на 2, то и n^2 также должно делиться на 2. Значит, n также должно делиться на 2. Так как 22(a + b) делится на 11, то n^2 также должно делиться на 11. А так как 11^2 = 121, то n должно делиться на 11.

Таким образом, n должно делиться и на 2, и на 11, то есть n должно делиться на 22. Но 22(a + b) = n^2, что противоречит тому, что n делится на 22.

Следовательно, сумма четырех различных двузначных чисел, записанных с помощью двух заданных цифр, не может быть квадратом целого числа.