Для доказательства того, что данное выражение при любом целом n является целым числом, можно воспользоваться методом математической индукции.

База индукции: для n=1 результат равен 1, что является целым числом.

Предположение индукции: пусть выражение целое для n=k, где k - некоторое целое число.

Шаг индукции: докажем, что выражение также является целым для n=k+1.

[tex] \frac{(k+1) {}^{5} }{120} + \frac{(k+1) {}^{4} }{12} + \frac{7(k+1) {}^{3} }{24} + \frac{5(k+1) {}^{2} }{12} + \frac{k+1}{5} = [/tex]

[tex] = \frac{k {}^{5} + 5k {}^{4} + 10k {}^{3} + 10k {}^{2} + 5k + 1}{120} + [/tex]
[tex] + \frac{k {}^{4} + 4k {}^{3} + 6k {}^{2} + 4k+1}{12} + [/tex]
[tex] + \frac{7k {}^{3} + 21k {}^{2} + 21k + 7}{24} + [/tex]
[tex] + \frac{5k {}^{2} + 10k + 5}{12} + [/tex]
[tex] + \frac{k+1}{5} = I + II + III + IV + V.[/tex]

I, II, III, IV и V являются целыми числами по предположению индукции, следовательно, их сумма также является целым числом. Таким образом, выражение является целым для всех целых n.

Итак, доказано, что выражение [tex] \frac{n {}^{5} }{120} + \frac{n {}^{4} }{12} + \frac{7n {}^{3} }{24} + \frac{5n {}^{2} }{12} + \frac{n}{5} [/tex] при любом целом n является целым числом.