Цилиндр имеет форму параллелепипеда, у которого по диагонали проходит диагональ основания и высота параллелепипеда равна высоте цилиндра. Так как диагональ основания составляет угол 45º с вертикалью, то она равна стороне основания умноженной на sqrt(2):

12 = a * sqrt(2)

a = 12 / sqrt(2) = 12sqrt(2) / 2 = 6sqrt(2)

Таким образом, сторона основания цилиндра равна 6sqrt(2) см. Для нахождения объема цилиндра используем формулу:

V = S основания * h,

где S основания = pi r^2 = pi (6sqrt(2))^2 = 36pi * 2 = 72pi.

Поскольку угол между осью цилиндра и диагональю 45º, то диагональ является гипотенузой, а высота цилиндра - катетом. Воспользуемся формулой для нахождения катета в прямоугольном треугольнике:

h = a sin(45º) = 6sqrt(2) sin(45º) = 6 sqrt(2) sqrt(2) / 2 = 6.

Таким образом, объем цилиндра равен:

V = 72pi * 6 = 432pi.

Ответ: объем цилиндра равен 432pi кубических сантиметров.