Для нахождения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Проведем замену u = x^4 + 2, тогда du = 4x^3 dx. Подставляем замену в исходный интеграл:

∫sin(u) x^3 dx = 1/4 ∫sin(u) du,

Интеграл от sin(u) равен -cos(u), поэтому:

1/4 ∫sin(u) du = -1/4 cos(u) + C,

Где C - произвольная постоянная. Подставляем обратно u = x^4 + 2:

-1/4 * cos(x^4 + 2) + C.

Таким образом, интеграл ∫sin(x^4 + 2) x^3 dx равен -1/4 cos(x^4 + 2) + C.