Данное дифференциальное уравнение является уравнением вида M$x,y$dx + N$x,y$dy = 0, где M$x,y$ = xy^2+x и N$x,y$ = -x^2y-y.

Убедимся, что данное уравнение является уравнением, точно интегрируемым.

Для этого посчитаем частные производные функций M и N по x и по y:

∂M/∂y = 2xy
∂N/∂x = -2xy

Так как ∂M/∂y = ∂N/∂x, то уравнение является точно интегрируемым.

Теперь найдем общее решение дифференциального уравнения, используя метод разделения переменных.

$x{y}^2+x$dx - $x^{2}y+y$dy = 0
$x{y}^2+x$dx = $x^{2}y+y$dy
$dy/dx$ = $x{y}^2+x$/$x^{2}y+y$

Выделим общий множитель в числятеле и знаменателе дроби:

$dy/dx$ = $x(y^2+1)$/$y(x^2+1)$

Разделим дробь на числитель и знаменатель:

$1/(y(y^2+1))$dy = $1/(x(x^2+1))$dx

Интегрируем обе стороны уравнения:

∫$1/(y(y^2+1))$dy = ∫$1/(x(x^2+1))$dx

ln|y| - $1/2$ln|y^2+1| = ln|x| - $1/2$ln|x^2+1| + C

ln|y/$y^2+1$^$1/2$| = ln|x/$x^2+1$^$1/2$| + C

y/$y^2+1$^$1/2$ = C*x/$x^2+1$^$1/2$

где C - произвольная постоянная.