Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций.

[tex]y' = \left(x\right)'\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right) + x\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)'[/tex]

Сначала вычислим производную первого множителя:
[tex]\left(x\right)' = 1[/tex]

Теперь вычислим производную второго множителя. Для этого воспользуемся цепным правилом дифференцирования:
[tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot \left(x^{2} - 1\right)'[/tex]
[tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot 2x[/tex]
[tex]\left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]

Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для вычисления производной:
[tex]y' = 1 \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]
[tex]y' = \sqrt{x^{2} - 1} + \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex]

Таким образом, производная функции [tex]y=x\sqrt{x^{2}- 1}[/tex] равна [tex]\sqrt{x^{2} - 1} + \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}[/tex].