Сначала найдем корни уравнения [tex]9 {x}^{2} - 6x + 1 = 0[/tex], то есть решим уравнение [tex]9 {x}^{2} - 6x + 1 = 0[/tex].

Для этого воспользуемся дискриминантом:

[tex]D = (-6)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0[/tex].

Таким образом, у уравнения есть только один корень:

[tex]x = \frac{6}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}[/tex].

Теперь мы знаем, что уравнение имеет один корень [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Мы можем провести обзор знаков и разбить промежутки на открытых промежутках и на концах. Так как у нас уравнение квадратное, то оно выражает параболу, вершины которой образуют ось симметрии. Так как ветви параболы направлены вверх, то парабола выше оси OX в областях между корнями уравнения. Мы можем определить знак выражения [tex]9 {x}^{2} - 6x + 1[/tex], взяв точку от каждого открытого интервала (t закрытого отрезка), например, [tex]x = 0[/tex], [tex]x = \frac{1}{3}[/tex] и [tex]x = 1[/tex].

Проверяя каждую точку, мы получаем следующую таблицу знаков:

[tex]
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& x & 9 {x}^{2} - 6x + 1 & > 0 \
\hline
1 & x & < \frac{1}{3} & > 0 \
\hline
2 & \frac{1}{3} & < x < \frac{1}{3} & > 0 \
\hline
3 & x & > \frac{1}{3} & > 0 \
\hline
\end{array}
[/tex]

Таким образом, неравенство [tex]9 {x}^{2} - 6x + 1 > 0[/tex] выполняется на интервалах [tex]x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)[/tex].