Сначала преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

$$tex$$ log{tgx}$2-ctgx$ + 2 log{$2-ctgx$}\sqrt{tgx} = log{tgx}$2-ctgx$ + log{$2-ctgx$}$tgx$^2 = log{tgx}$2-ctgx$ + log{$2-ctgx$}$t{g}^{2}x$ = log{tgx}$2-ctgx$ + log{$2-ctgx$}$1/co{s}^{2}x$$$/tex$$

$$tex$$ = log{tgx}$2-ctgx$ + log{$2-ctgx$}$1/co{s}^{2}x$ = log{tgx}$2-ctgx$\cdot\frac{1}{cos^2x} = log{tgx}$2-ctgx$\cdot tg^2x$$/tex$$

Теперь уравнение примет вид:

$$tex$$ log_{tgx}$2-ctgx$\cdot tg^2x = \frac{5}{2} $$/tex$$

Преобразуем:

$$tex$$ tg^2x\cdot log_{tgx}$2-ctgx$ = \frac{5}{2} $$/tex$$

$$tex$$ $2-ctgx$^{log_{tgx}$t{g}^{2}x$} = $2-ctgx$^{\frac{5}{2}} $$/tex$$

$$tex$$ $2-ctgx$^{log_{tgx}$t{g}^{2}x$} = $2-ctgx$^{\frac{5}{2}} $$/tex$$

Используем свойство степени на основе равенства:

$$tex$$ log_{tgx}$t{g}^{2}x$ = 2 $$/tex$$

Тогда:

$$tex$$ tg^2x = tg^{2}$$/tex$$

И далее:

$$tex$$ tgx = \pm\sqrt{2} $$/tex$$

Подставляем обратно в исходное уравнение и находим значения ctgx, когда tgx равен ±√2.