Для нахождения предела данной функции, преобразуем ее:

[tex]\lim{x \to 0} \frac{tg^2(^\frac{x}{2})}{(x^2)} = \lim{x \to 0} \frac{\frac{sin^2(^\frac{x}{2})}{cos^2(^\frac{x}{2})}}{(x^2)} = \lim{x \to 0} \frac{sin^2(^\frac{x}{2})}{cos^2(^\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{(x^2)} = \lim{x \to 0} \frac{sin(^\frac{x}{2})}{cos(^\frac{x}{2})} \cdot \frac{sin(^\frac{x}{2})}{cos(^\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{sin(^\frac{x}{2})}{^\frac{x}{2}} \cdot \frac{sin(^\frac{x}{2})}{^\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{4}[/tex]

Здесь мы использовали формулу для предела sin(x)/x при x стремящемся к 0, который равен 1. Теперь подставим x = 0 в полученное выражение:

[tex]\frac{sin(0)}{0} \cdot \frac{sin(0)}{0} \cdot \frac{1}{4} = 0[/tex]

Таким образом, предел функции равен 0.