Данное уравнение можно разделить на два уравнения:

1) [tex]2cos^{2} x+sinx-2=0[/tex]
2) [tex]\sqrt{5tgx} =0[/tex]

1) Найдем корни уравнения [tex]2cos^{2} x+sinx-2=0[/tex]:
Решим данное уравнение. Заметим, что оно является квадратным уравнением относительно sinx.
[tex]2cos^{2} x+sinx-2=0[/tex]
[tex]sinx = \frac{-1 \pm \sqrt{1+16*2}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}[/tex]

Так как промежуток [tex][\pi ; \frac{5\pi }{2} ][/tex], то подходит только [tex]\pi[/tex], так как [tex]\dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4} < -1[/tex]

Итак: корни уравнения [tex]2cos^{2} x+sinx-2=0[/tex] на промежутке [tex][\pi ; \frac{5\pi }{2} ][/tex] - [tex]\pi[/tex]

2) Найдем корни уравнения [tex]\sqrt{5tgx} =0[/tex]:
В условии задачи невозможно определить угол, для которого тангенс равен нулю. Однако, можно заметить, что под корнем должно быть неотрицательное выражение, поэтому корень уравнения равен 0.

Итак, корни исходного уравнения на промежутке [tex][\pi ; \frac{5\pi }{2} ][/tex] - [tex]\pi[/tex] и 0.