Докажем это по индукции.

База индукции: при n = 1 выражение равно 72^3 - 3^2 = 312, что кратно 47 (312 = 47 6).

Предположение индукции: предположим, что для некоторого натурального значения n выражение 7^n*2^3n-3^2n кратно 47.

Шаг индукции: докажем, что при n+1 выражение также кратно 47.
Рассмотрим выражение при n+1:
7^(n+1)2^(3(n+1)) - 3^(2(n+1)) = 7 7^n 2^3 2^(3n) - 3^2 3^(2n)
= 7 2^3 7^n 2^(3n) - 3^2 9 3^(2n)
= 8 7^n 2^3n - 9 3^(2n)
= 8 (7^n * 2^3n - 3^2n)

По предположению индукции (7^n 2^3n - 3^2n) кратно 47, следовательно, 8 (7^n * 2^3n - 3^2n) также кратно 47.

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что при любом натуральном значении n выражение 7^n*2^3n-3^2n кратно 47.