Для начала определим длину AD. В треугольнике ABD по теореме косинусов имеем:

cos(60°) = (AB² + BD² - AD²) / (2 AB BD)

AB = 6, BD = 3, cos(60°) = 0.5

0.5 = (36 + 9 - AD²) / 12

6 = 45 - AD²

AD² = 39

AD = √39

Теперь найдем площадь трапеции ABCD по формуле:

S = (AB + DC) * h / 2

AB = 6, DC = 5, h - высота трапеции.

В треугольнике ABD, т.к. BH перпендикулярна AD и KD перпендикулярна AB, получаем правильный треугольнико ADK. С точки зрения треугольника BHK, BD = KD = 3, BH - требуемая высота, так как треугольники ABD и BKH - подобные.

Теперь посчитаем длину BH по формуле косинусов:

cos(60°) = BH / AD

cos(60°) = 0.5, BH = √39/2

Таким образом, высота трапеции будет равна BH. Подставим все данные в формулу для площади трапеции:

S = (6 + 5) √39 / 2 = 11 √39 / 2

Ответ: AD = √39, S = 11 * √39 / 2.