Решение 1:

Пусть отрезок ВЦ = Х, тогда по условию:
AB = 13 см,
AC = 4 см,
BC = Х.

По теореме косинусов в треугольнике ABC:
(BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 - 2 AB AC cos(BAC),
Х^2 = 13^2 + 4^2 - 2 13 4 cos(BAC),
Х^2 = 169 + 16 - 104 cos(BAC),
Х^2 = 185 - 104 cos(BAC).

Также, по теореме синусов в треугольнике ABC:
sin(ABC) / AC = sin(ACB) / BC,
sin(ABC) / 4 = sin(ACB) / Х,
sin(ABC) = 4 * sin(ACB) / Х.

Подставляем значение sin(ABC) через косинус угла BAC:
sin(ACB) = sin(180 - BAC) = sin(BAC) = sin(acos(4/13)),
sin(ABC) = 4 * sin(acos(4/13)) / Х.

Таким образом у нас есть две формулы:
Х^2 = 185 - 104 cos(BAC),
sin(ABC) = 4 sin(acos(4/13)) / Х.

Далее, решаем систему уравнений численно.

Решение 2:

Лучше начать, найдя сначала косинус угла BAC, используя косинусное правило в треугольнике ABC:
cos(BAC) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 AC AB),
cos(BAC) = (4^2 + 13^2 - BC^2) / (2 4 13),
cos(BAC) = (16 + 169 - BC^2) / 104,
104 cos(BAC) = 185 - BC^2,
BC^2 = 185 - 104 cos(BAC).

Теперь найдем синус угла BAC, используя формулу синусов в треугольнике ABC:
sin(BAC) = sqrt(1 - cos^2(BAC)),
sin(BAC) = sqrt(1 - cos^2(BAC)),
sin(BAC) = sqrt(1 - (185 - BC^2) / 104^2),
sin(BAC) = sqrt(104^2 - (185 - BC^2)) / 104,
sin(BAC) = sqrt(10816 - 185 + BC^2) / 104,
sin(BAC) = sqrt(10631 - BC^2) / 104.

Таким образом, мы найдем BC, подставив значение sin(BAC) в формулу синусов в треугольнике ABC:
BC = 4 * sin(acos(4/13)) / sin(BAC).

Подставляем значения и находим BC численно.