Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле (или принципом Шермана-Морро), который утверждает: если имеется множество из n объектов, и n+1 или более объектов пытаются поместиться в эти n объектов, то по крайней мере один объект должен быть упомянут по крайней мере дважды.

Предположим, что в компании из пяти человек ни у кого из них нет одинакового числа знакомых. Значит, у каждого человека количество знакомых отличается от количества знакомых у остальных четырех человек.

Теперь рассмотрим, сколько знакомых может иметь каждый человек:

Если первый человек знает 0 человек, то он может знать 1, 2, 3 или 4 человек.Если первый человек знает 1 человека, то он может знать 0, 2, 3 или 4 человека.Если первый человек знает 2 человек, то он может знать 0, 1, 3 или 4 человека.Если первый человек знает 3 человека, то он может знать 0, 1, 2 или 4 человека.Если первый человек знает 4 человека, то он может знать 0, 1, 2 или 3 человека.

В каждом из этих случаев у первого человека есть 4 варианта для числа знакомых, а у оставшихся четырех человек - 4 варианта выбора числа знакомых. По принципу умножения имеем 4^5 = 1024 возможных различных ситуаций, но так как мы рассматриваем только ситуации, где у всех пятерых людей разное количество знакомых, то количество возможных вариантов у нас не совпадает с общим количеством вариантов 1024.

Следовательно, как минимум в одном из случаев у кого-то из пятерых людей число знакомых совпадает с числом знакомых у кого-то другого человека. Таким образом, доказано, что в любой компании из пяти человек найдутся двое, имеющих одинаковое число знакомых.