Для решения данного интеграла воспользуемся методом подстановки.

Обозначим ( u = 1 - x^2 ).
Тогда:
[ \frac{du}{dx} = -2x \Rightarrow dx = -\frac{du}{2x} ]
Таким образом, интеграл примет вид:
[ \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int \frac{1+x}{\sqrt{u}} \cdot \left( -\frac{du}{2x} \right) ]

Разделим числитель на два части:
[ \int \frac{1+x}{\sqrt{u}} \cdot \left(-\frac{du}{2x}\right) = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}du - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\sqrt{u}}du ]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:
1) (-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}du = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} + C_1 = -\sqrt{u} + C_1 = -\sqrt{1-x^2} + C_1)
2) (-\frac{1}{2} \int \frac{x}{\sqrt{u}}du)

Для интегрирования второго слагаемого применим интегрирование по частям:
[ u = x \Rightarrow du = dx, dv = \frac{1}{\sqrt{u}}du, v = 2\sqrt{u} ]

Теперь рассчитаем интеграл:
[ -\frac{1}{2} \int \frac{x}{\sqrt{u}}du = -\frac{1}{2} \left( 2\sqrt{u}x - \int 2\sqrt{u}dx \right) = -x\sqrt{u} + \int \sqrt{u}dx ]

Интегрируем последнее слагаемое:
[ \int \sqrt{u}dx = \int \sqrt{1-x^2}dx ]
Для решения данного интеграла сделаем замену ( x = \sin{t} ), тогда ( dx = \cos{t}dt ):
[ \int \sqrt{1-\sin^2{t}}\cos{t}dt = \int \cos^2{t}dt ]

Используем тригонометрическое тождество ( \cos^2{t} = \frac{1+\cos{2t}}{2} ):
[ \int \cos^2{t}dt = \int \frac{1+\cos{2t}}{2}dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin{2t}}{4} + C_2 ]

Возвращаем t к переменной x с учетом преобразования ( u = 1 - x^2 ):
[ = -x\sqrt{u} + \frac{t}{2} + \frac{\sin{2t}}{4} + C_2 ]

Затем подставляем найденные значения обратно в формулу интеграла:
[ = -x\sqrt{1-x^2} - \frac{x}{2}\arcsin{x} + \frac{1}{4}\sin{2\arcsin{x}} + C_2 ]
[ = -x\sqrt{1-x^2} - \frac{x}{2}\arcsin{x} + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C_2 ]
[ = \frac{x}{2} - \frac{x}{2}\arcsin{x} + C_3 ]

Таким образом, окончательный ответ на интеграл равен:
[ \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\sqrt{1-x^2} - \frac{x}{2}\arcsin{x} + C ]