Для начала перепишем неравенство в виде стандартных логарифмов:

log3(x+1) < log9(4x+3)
log(x+1) / log3 < log(4x+3) / log9

Теперь можем использовать свойство логарифмов для смены основания:

log(x+1) / log3 < log(4x+3) / log3^2
log(x+1) / log3 < log(4x+3) / (2log3)

Теперь уберем логарифмы:

(x+1) / 3 < (4x+3) / (2*3)
(x+1) / 3 < (2x+3) / 3
3(x+1) < 2(2x+3)
3x + 3 < 4x + 6
3 < x + 6
x > -3

Итак, x должен быть больше -3. Таким образом, кол-во целых чисел, удовлетворяющих неравенству, равно бесконечности.