Для вычисления данного определенного интеграла нужно сперва найти первообразную функцию подынтегрального выражения.

Интегрируя x^4/(4x^5+2) dx, получаем:

1/4 ∫(x^4)/(x^5+0.5) dx

Выражение (x^5+0.5) можно переписать в виде: 2(x^5) + 1

Тогда подынтегральное выражение примет вид: 1/4 ∫ x^4/(2x^5+1) dx

Далее проведем интегрирование по частям:

u = x^4, dv = dx/(2x^5+1)

du = 4x^3 dx, v = 1/(10x^4) * ln|2x^5+1|

Интеграл примет вид: 1/4 [x^4 1/(10x^4) ln|2x^5+1| - ∫(1/(10x^4) ln|2x^5+1| * 4x^3 dx)]

S = 1/4 [(1/10) ln|2x^5+1| - 4/10 ∫x^-1 ln|2x^5+1| dx]

S = 1/4 [(1/10) ln|2x^5+1| - 4/10 ∫ln|2x^5+1| 1/x dx]

S = 1/4 [(1/10) ln|2x^5+1| - 4/10 ∫ln|2x^5+1| dx]

S = 1/4 [(1/10) ln|2x^5+1| - 4/10 x ln|2x^5+1|]

Теперь вычисляем значение определенного интеграла в пределах от 1 до 0:

S(1) - S(0) = 1/4 [(1/10) ln|2+1| - 4/10 1 ln|2+1|] - [1/4 [(1/10) ln|2+1| - 4/10 0 ln|2+1|]]

S(1) - S(0) = 1/4 [1/10 ln(3) - 4/10 ln(3)] - 1/4 [1/10 * ln(3)]

S(1) - S(0) = 1/4 [(1/10 - 4/10) ln(3)] - 1/4 (1/10 * ln(3))

S(1) - S(0) = 1/4 [-3/10 ln(3)] - 1/40 * ln(3)

S(1) - S(0) = -3/40 * ln(3)

Ответ: -3/40 * ln(3)