Пусть пять последовательных натуральных чисел имеют вид: x, x+1, x+2, x+3, x+4.

Тогда сумма их квадратов будет равна:
x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 + (x+3)^2 + (x+4)^2 = 5x^2 + 30x + 30

Чтобы доказать, что данная сумма не является полным квадратом, докажем это от противного. Предположим, что данная сумма является полным квадратом, то есть ее можно представить в виде n^2, где n - целое число.

Тогда уравнение примет вид:
5x^2 + 30x + 30 = n^2

Перенесем все члены в левую часть уравнения:
5x^2 + 30x + 30 - n^2 = 0

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной x. Рассмотрим его дискриминант:
D = 30^2 - 45(30-n^2) = 900 - 20(30-n^2) = 900 - 600 + 20n^2 = 20n^2 + 300

Поскольку дискриминант является положительным выражением, то уравнение имеет два действительных корня. А это противоречит начальному условию о том, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел является полным квадратом.

Таким образом, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является полным квадратом.