Для решения этой задачи, мы можем представить укладку плитки как арифметическую прогрессию.

Пусть для начала в первый час плиточник укладывает 1 м² плитки, во второй - 2 м², в третий - 3 м² и так далее.

Таким образом, мы имеем следующую прогрессию: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой Sn = n(a1 + an) / 2, где a1 - первый член прогрессии (1 м²), аn - n-й член прогрессии (n м²).

Нам известно, что сумма первых 5 членов прогрессии равна 20 м².

Тогда: 5(1 + 5) / 2 = 20

Отсюда мы находим, что 5н² = 40 и н = 8 часов для укладки 20 м² плитки.

Теперь мы можем построить новую прогрессию, где плиточник будет укладывать 2 м² в первый час, 3 м² во второй и так далее.

Используя формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии, мы можем найти, сколько часов ему потребуется, чтобы уложить 45 м² плитки.

45 = n(2 + 2 + n - 1) / 2

45 = n(2n + 1) / 2

90 = 2n² + n

2n² + n - 90 = 0

(n - 9)(2n + 10) = 0

n = 9

Итак, плиточнику потребуется 9 часов, чтобы уложить 45 м² плитки.