Давайте по порядку перейдем к решению данного уравнения:

Прологарифмируем обе стороны уравнения для упрощения:
log3 (x^2 - 11x + 27) = 2lg (3x - 7) <= lg (x+1)
x^2 - 11x + 27 = (3x - 7)^2 <= (x + 1)

Разложим квадрат справа:
x^2 - 11x + 27 = 9x^2 - 42x + 49 <= (x + 1)

Приведем подобные слагаемые и приведем уравнение к одному порядку:
8x^2 - 31x + 22 <= 0

Решим квадратное неравенство:
Для этого найдем корни уравнения 8x^2 - 31x + 22 = 0:

D = (-31)^2 - 4822 = 961 - 704 = 257

x1,2 = (31 ± √D) / 2*8 = (31 ± √257) / 16

x1 ≈ 2.719, x2 ≈ 0.344

Найдем значения функции на интервалах, образованных корнями уравнения:
f(x) = 8x^2 - 31x + 22

f(x1) ≈ 82.719^2 - 312.719 + 22 ≈ 0.525
f(x2) ≈ 80.344^2 - 310.344 + 22 ≈ 7.023

Из этого следует, что 8x^2 - 31x + 22 <= 0 при 0.344 ≤ x ≤ 2.719.

Итак, корень уравнения x^2 - 11x + 27 находится в интервале [0.344, 2.719] и удовлетворяет условию логарифмического неравенства.

Ответ: x принадлежит отрезку [0.344, 2.719].