Первым шагом найдем координаты фокусов эллипса. Так как они расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то координаты фокусов будут (±c, 0).

Для нахождения значения c воспользуемся формулой, связывающей полуоси эллипса a, b и расстояние между фокусами c:

c^2 = a^2 - b^2

Так как расстояние между директриссами равно 10, то 2a = 10, a = 5. Так как точка М лежит на эллипсе, то её расстояние до фокуса равно f (f – фокальное расстояние). Тогда c = f, а расстояние от точки М до фокуса, которое равно 5, равно f = 5.

Теперь мы можем найти координаты фокусов:

(-c, 0) = (-5, 0)

(c, 0) = (5, 0)

Итак, у нашего эллипса фокусы расположены на оси абсцисс с координатами (-5, 0) и (5, 0).

Теперь запишем уравнение эллипса:

(x - 5)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Заменим a на 5 и найдем b. Так как точка М (-корень из 5;2) лежит на эллипсе, то:

(-√5 - 5)^2/25 + 2^2/b^2 = 1

(√5 + 5)^2/25 + 4/b^2 = 1

(10√5 + 25)/25 + 4/b^2 = 1

4/b^2 = 1 - (10√5 + 25)/25

4/b^2 = -10√5/25

b^2 = 100/√5

b = 10/√5

Итак, уравнение эллипса с заданными условиями:

(x - 5)^2/25 + y^2/(10/√5)^2 = 1