Для решения данного дифференциального уравнения сначала нужно найти общее решение, а затем использовать начальное условие, чтобы найти частное решение.

Данное дифференциальное уравнение является уравнением первой степени, и можно решить его методом разделения переменных.

Исходное уравнение:
[tex]3y^{2} y' + y^{3} = x + 1[/tex]

Разделим переменные:
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{x + 1}{3y^{2} + y}[/tex]

Перенесем все уравнение на одну сторону:
[tex]\frac{dy}{3y^{2} + y} = \frac{dx}{x + 1}[/tex]

Проинтегрируем обе части этого уравнения:
[tex]\int \frac{dy}{3y^{2} + y} = \int \frac{dx}{x + 1}[/tex]

Сначала рассмотрим левую часть. Для упрощения интегрирования в числителе нужно разложить на простые дроби:
[tex]\frac{1}{3y^{2} + y} = \frac{A}{y} + \frac{B}{3y + 1}[/tex]

Умножим обе части на знаменатель и получим:
[tex]1 = Ay + B(3y + 1)[/tex]

Подставляя y = 0 и y = -1/3, получаем систему уравнений:
[tex]1 = B[/tex]
[tex]1 = A - \frac{B}{3}[/tex]

Отсюда находим, что [tex]A = 1[/tex].

Теперь можем решить интеграл:
[tex]\int \frac{dy}{3y^{2} + y} = \int \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{3(3y + 1)}\right)dy = \ln|y| - \frac{1}{3} \ln|3y + 1| + C_{1}[/tex]

Для правой части:
[tex]\int \frac{dx}{x + 1} = \ln|x + 1| + C_{2}[/tex]

Объединяем полученные выражения:
[tex]\ln|y| - \frac{1}{3} \ln|3y + 1| = \ln|x + 1| + C[/tex]
[tex]\ln|y| - \ln|(3y + 1)^{\frac{1}{3}}| = \ln|x + 1| + C[/tex]
[tex]\ln\left|\frac{y}{(3y + 1)^{\frac{1}{3}}}\right| = \ln|x + 1| + C[/tex]
[tex]\frac{y}{(3y + 1)^{\frac{1}{3}}} = K(x + 1)[/tex]

Где K - это произвольная постоянная. Теперь подставим начальное условие, при x = 1, y = -1:
[tex]\frac{-1}{(3(-1) + 1)^{\frac{1}{3}}} = K(1 + 1)[/tex]
[tex]\frac{-1}{(2)^{\frac{1}{3}}} = 2K[/tex]
[tex]-2 = 2K(2)^{\frac{1}{3}}[/tex]
[tex]K = -\frac{1}{2^{\frac{2}{3}} \times 2} = -\frac{1}{4\sqrt{2}}[/tex]

Подставляем K в общее решение и находим частное решение:
[tex]\frac{y}{(3y + 1)^{\frac{1}{3}}} = -\frac{1}{4\sqrt{2}}(x + 1)[/tex]