Для решения данного уравнения сначала воспользуемся свойством квадратного корня:

\sqrt{x^{3}+8} = 6 - \sqrt[4]{x^{3}+8}

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(x^{3}+8) = (6 - \sqrt[4]{x^{3}+8})^{2}

Откроем скобки:

x^{3} + 8 = 36 - 12\sqrt[4]{x^{3}+8} + x^{3} + 8

Упростим:

12\sqrt[4]{x^{3}+8} = 36

\sqrt[4]{x^{3}+8} = 3

Теперь возводим обе части уравнения в четвертую степень:

x^{3} + 8 = 3^{4}

x^{3} + 8 = 81

x^{3} = 73

x = \sqrt[3]{73}

Ответ: x = \sqrt[3]{73}