Для вычисления данного выражения воспользуемся формулами:
(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}),
(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}).

Первым шагом найдем значения (\sin 45 градусов) и (\cos 45 градусов), с помощью которых можем найти значения (\sin 22 градуса 30 минут) и (\cos 22 градуса 30 минут).

(\sin 45 градусов = \sqrt{\frac{1 - \cos 90}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 0}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2})

(\cos 45 градусов = \sqrt{\frac{1 + \cos 90}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 0}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2})

Теперь найдем (\sin 22 градуса 30 минут) и (\cos 22 градуса 30 минут).

(\sin 22 градуса 30 минут = \sin (45 - 22.5) = \sin 45 \cos 22.5 - \cos 45 \sin 22.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4})

(\cos 22 градуса 30 минут = \cos (45 - 22.5) = \cos 45 \cos 22.5 + \sin 45 \sin 22.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4})

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
(\sin^6 22 градуса 30 минут - \cos^6 22 градуса 30 минут = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^6 - \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^6 = \frac{1}{4096} - \frac{1}{4096} = 0).

Итак, результат равен 0.