Для нахождения производной данной функции сначала введем промежуточное переменное [tex]u = cos^2x[/tex]. Тогда исходная функция примет вид:
[tex]y = ln(u + \sqrt{1 + u^2})[/tex].

Теперь найдем производную [tex]y'[/tex] этой функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции ([tex]ln(u)[/tex]):
[tex]y' = \frac{1}{u + \sqrt{1 + u^2}} \cdot (1 + \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}})'[/tex].

Вычислим производную выражения [tex]1 + \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}[/tex]:
[tex]1 + \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}} = \frac{\sqrt{1 + u^2} + u}{\sqrt{1 + u^2}} = \frac{1 + u^2}{\sqrt{1 + u^2}}[/tex].

Далее найдем производную [tex]\frac{1 + u^2}{\sqrt{1 + u^2}}[/tex]:
[tex]\frac{(1 + u^2)' \cdot \sqrt{1 + u^2} - (1 + u^2) \cdot (\sqrt{1 + u^2})'}{(1 + u^2)} = \frac{2u \cdot \sqrt{1 + u^2} - (1 + u^2) \cdot \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}}{1 + u^2}[/tex].
[tex]\frac{2u \cdot \sqrt{1 + u^2} - \frac{u(1 + u^2)}{\sqrt{1 + u^2}}}{1 + u^2} = \frac{2u\sqrt{1 + u^2} - u - u^3}{(1 + u^2)\sqrt{1 + u^2}}[/tex].

Теперь мы можем подставить это выражение в исходную формулу для производной [tex]y'[/tex]:
[tex]y' = \frac{1}{u + \sqrt{1 + u^2}} \cdot \frac{2u\sqrt{1 + u^2} - u - u^3}{(1 + u^2)\sqrt{1 + u^2}}[/tex].

Для того чтобы окончательно выразить производную [tex]y'[/tex] через [tex]x[/tex], вспомним, что [tex]u = cos^2x[/tex]. Тогда:
[tex]y' = \frac{1}{cos^2x + \sqrt{1 + cos^4x}} \cdot \frac{2cos^2x \cdot \sqrt{1 + cos^4x} - cos^2x - cos^6x}{(1 + cos^4x)\sqrt{1 + cos^4x}}[/tex].

Это и будет окончательным выражением для производной данной функции.