Для того чтобы найти уравнение касательной, проходящей через точку (a, f(a)) на графике функции y = x^(2/3) + 2/3, нам нужно вычислить производную этой функции и подставить значение в точке a.

f(x) = x^(2/3) + 2/3

f'(x) = (2/3)x^(-1/3)

Теперь найдем производную в точке a:

f'(a) = (2/3)a^(-1/3)

Уравнение касательной имеет вид:

y - f(a) = f'(a) * (x - a)

Подставляем значения:

y - (a^(2/3) + 2/3) = (2/3)a^(-1/3) * (x - a)

Теперь нам нужно найти точку, через которую проходит касательная. Для этого площадь треугольника, который отсекает эта касательная от осей координат, равна 0.75. Площадь треугольника можно найти как половину произведения основания и высоты:

Пусть точка x1 – это точка, где касательная пересекает ось OX. Тогда основание треугольника равно x1, а высота - f(x1).

0.75 = (1/2) x1 f(x1)

Подставляем величину x1 и f(x1) в это уравнение и решаем его относительно a.

0.75 = (1/2) x1 (x1^(2/3) + 2/3)

Получаем:

3/4 = (1/2) * x1^(5/3) + x1/3

Решаем это уравнение относительно x1. Получаем a = 1.

Значит уравнение касательной:

y - (1^(2/3) + 2/3) = (2/3)1^(-1/3) (x - 1)

y - (1 + 2/3) = (2/3) * (x - 1)

y - 5/3 = (2/3)x - 2/3

y = (2/3)x + 1/3

Ответ: y = (2/3)x + 1/3