Подставим x = 0 в выражение, получим:
[tex]\frac{e^{\pi0}+e^{-\pi0}-2}{0^2} = \frac{1+1-2}{0} = \frac{0}{0}[/tex]

Такое выражение нельзя определить напрямую, поэтому преобразуем исходное выражение:

[tex]\frac{e^{\pix}+e^{-\pix}-2}{x^2} = \frac{e^{\pix}+e^{-\pix}-2}{x^2} \cdot \frac{e^{\pix}+e^{-\pix}+2}{e^{\pix}+e^{-\pix}+2}[/tex]

[tex]= \frac{(e^{\pix}+e^{-\pix})^2-4}{x^2(e^{\pix}+e^{-\pix}+2)} = \frac{(e^{\pix}+e^{-\pix})^2-4}{x^2(e^{\pix}+e^{-\pix}+2)}[/tex]

[tex]= \frac{e^{\pi2x}+2+e^{-\pi2x}-4}{x^2(e^{\pix}+e^{-\pix}+2)} = \frac{e^{\pi2x}+e^{-\pi2x}-2}{x^2(e^{\pix}+e^{-\pix}+2)}[/tex]

Подставим x = 0, получим:

[tex]\frac{1+1-2}{0*(1+1+2)} = \frac{0}{0}[/tex]

Снова получили неопределенность. Продифференцируем числитель и знаменатель:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^{\pi2x}+e^{-\pi2x}-2)}{\frac{d}{dx}(x^2(e^{\pix}+e^{-\pix}+2))}[/tex]

[tex]= \lim_{x \to 0} \frac{\pi2e^{\pi2x}-\pi2e^{-\pi2x}}{x^2(e^{\pix}+e^{-\pix}+2)+2x(e^{\pix}+e^{-\pix}+2)} = 0[/tex]

Поэтому, предел равен 0.