Для доказательства этой теоремы воспользуемся геометрической интерпретацией арккосинуса.

Пусть угол α = arccos a, угол β = arccos $-a$ и пусть AC = a, BC = -a.

Из определения арккосинуса следует, что cosα = a и cosβ = -a.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как cosα = a, то угол α – это угол между гипотенузой и прилежащим катетом, значит, α – это угол ACB.

Аналогично, так как cos β = -a, то угол β – это угол между гипотенузой и противолежащим катетом, значит, β – это угол BAC.

Таким образом, получаем, что угол ACB + угол BAC = π, то есть arccos a + arccos $-a$ = π, что и требовалось доказать.