Для нахождения значения выражения a^4 + 4a + 4/a + 1/a^4, когда a + 1/a = 8, нужно использовать данное уравнение для нахождения значения a^4 и 1/a^4.

Имея a + 1/a = 8, возводим обе части уравнения в 4-ю степень:

(a + 1/a)^4 = 8^4
a^4 + 4a^3(1/a) + 6a^2(1/a)^2 + 4a(1/a)^3 + (1/a)^4 = 4096
a^4 + 4a^2 + 6 + 4/a + 1/a^4 = 4096

Таким образом, значение исходного выражения равно 4096.