Для решения этой задачи, сначала найдем значения арктангенсов и арксинусов:

1) arctg(1/3) - находим угол, тангенс которого равен 1/3
Пусть угол равен x
Тогда tg(x) = 1/3
Отсюда x = arctg(1/3)

2) arctg(2sqrt(3)) - находим угол, тангенс которого равен 2sqrt(3)
Пусть угол равен y
Тогда tg(y) = 2sqrt(3)
Отсюда y = arctg(2sqrt(3))

3) arctg(2*sqrt(3)) = 60 градусов (или pi/3 радиан)

4) Подставляем найденные значения в формулу:

sin(2arctg(1/3)) + cos(arctg(2sqrt(3))) = sin(2*x) + cos(y)

sin(2x) = 2sin(x)*cos(x)

sin(x) = 1/sqrt(1+tg^2(x)) = 1/sqrt(1+(1/3)^2) = 3/sqrt(10)
cos(x) = tg(x)/sqrt(1+tg^2(x)) = (1/3)/sqrt(1+(1/3)^2) = 1/sqrt(10)

Значит, sin(2x) = 2 3/sqrt(10) * 1/sqrt(10) = 6/10 = 3/5

Таким образом, sin(2*arctg(1/3)) = 3/5

cos(y) = 1/2 (так как y = 60 градусов или pi/3 радиан)

Подставляем значения обратно в исходную формулу:

sin(2arctg(1/3)) + cos(arctg(2sqrt(3))) = 3/5 + 1/2 = 3/5 + 2/4 = 11/10

Ответ: sin(2arctg(1/3)) + cos(arctg(2sqrt(3))) = 11/10