Чтобы найти производную функции, необходимо воспользоваться правилом дифференцирования произведения и правилом дифференцирования сложной функции.

Дано: у = cos³(4x) * arccot(√x).

Вычислим производную частей выражения:

Производная cos(4x) равна -4sin(4x).Производная arccot(√x) равна -1 / (1 + x).

Теперь применим правило дифференцирования произведения:
dy/dx = (cos³(4x))' arccot(√x) + cos³(4x) (arccot(√x))'.

Подставляем значения производных:
dy/dx = (-12cos²(4x)sin(4x)) arccot(√x) + cos³(4x) (-1 / (1 + x)).

Таким образом, производная данной функции равна:
dy/dx = -12cos²(4x)sin(4x) * arccot(√x) - cos³(4x) / (1 + x).