Для того чтобы найти значение параметра "a", при котором сумма корней принимает наибольшее значение, мы можем воспользоваться формулой суммы корней квадратного уравнения.

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, сумма корней будет равна -b/a. Из данного уравнения X^2 + 2(a^2-3a)x - (6a^3 - 14a^2 + 4) = 0, мы видим что a = 1, b = 2(a^2-3a), c = -(6a^3-14a^2+4).

Теперь найдем значение параметра "a", при котором сумма корней будет наибольшей. Для этого нужно найти производную суммы корней по параметру "a" и приравнять ее к нулю.

Сумма корней будет равна -b/a = -2(a^2-3a)/1 = -2(a^2-3a). Найдем производную данной функции: d(-2(a^2-3a))/da = -4a + 6.

Теперь приравниваем производную к нулю: -4a + 6 = 0. Отсюда получаем a = 6/4 = 3/2.

Таким образом, значение параметра "a", при котором сумма корней принимает наибольшее значение, равно 3/2.