Для доказательства данного утверждения мы можем воспользоваться правилом Лопиталя.

Сначала рассмотрим функцию [tex]f(x) = \log_{a}x[/tex] и функцию [tex]g(x) = x^E[/tex].

Используя формулу для производной логарифмической функции первой функции, получаем:

[tex]f'(x) = \frac{1}{x\ln a}[/tex]

А для функции [tex]g(x) = x^E[/tex]:

[tex]g'(x) = Ex^{E-1}[/tex]

Теперь по правилу Лопиталя для пределов вида [tex]\frac{f(x_0)}{g(x_0)}[/tex], где [tex]x_0 \to +\infty[/tex] рассмотрим предел:

[tex]\lim{x \to +\infty}\frac{\log{a}x}{x^E}=\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{x\ln a}}{Ex^{E-1}}[/tex]

Получаем:

[tex]\lim{x \to +\infty}\frac{\log{a}x}{x^E}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{E\ln a*x^{E-1}}[/tex]

Сокращаем [tex]x[/tex] в числителе и знаменателе:

[tex]\lim{x \to +\infty}\frac{\log{a}x}{x^E}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{E\ln a*x^{E}}[/tex]

Последний предел равен 0, так как степенная функция с положительным показателем убывает быстрее логарифмической функции по мере возрастания аргумента.

Таким образом, мы доказали, что [tex]\lim{x \to +\infty}\frac{\log{a}x}{x^E}=0[/tex].