Первым шагом выразим каждую переменную через другие две:

x = 1/12 - yz = 1/6 - yx = 1/4 - z

Теперь сложим все три уравнения:

1/12 - y + 1/6 - y + 1/4 - z = 0
1/12 + 1/6 + 1/4 - 2y - z = 0
2/12 + 4/12 + 3/12 - 2y = 0
9/12 - 2y = 0
9 - 24y = 0
y = 9/24
y = 3/8

Теперь найдем x и z:

x = 1/12 - 3/8 = 1/12 - 9/24 = 2/24 - 9/24 = -7/24z = 1/6 - 3/8 = 4/24 - 9/24 = -5/24

Теперь найдем 1/x + y + z:

1/x + y + z = 1/(-7/24) + 3/8 - 5/24 = -24/7 + 3/8 - 5/24
1/x + y + z = -192/56 + 21/56 - 15/56
1/x + y + z = -186/56
1/x + y + z = -93/28

Итак, 1/x + y + z = -93/28.