Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Обозначим функцию вида [tex]y = u(v(w(x))) = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}[/tex], где

[tex]w(x) = x[/tex][tex]v(w) = \sqrt{x + w}[/tex][tex]u(v) = \sqrt{v}[/tex]

Тогда производная функции [tex]y[/tex] по переменной [tex]x[/tex] будет равна:
[tex]y' = u'(v(w(x))) v'(w(x)) w'(x) = \frac{1}{2\sqrt{v}} \frac{1}{2\sqrt{x + w}} 1[/tex]

Подставим значения:
[tex]y' = \frac{1}{2\sqrt{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}} * \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}}[/tex]

Сократим делители:
[tex]y' = \frac{1}{4\sqrt{x + \sqrt{x}}} * \frac{1}{\sqrt{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}[/tex]

Таким образом, производная данной функции равна: [tex]y' = \frac{1}{4\sqrt{x + \sqrt{x}}} * \frac{1}{\sqrt{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}[/tex].