Для начала разберемся с условием задачи. Неравенство [tex]log{x}(4-x) \cdot log{x}(x+1) \geq 0[/tex] означает, что произведение двух логарифмов по основанию [tex]x[/tex] должно быть больше или равно нулю.

Известно, что значение логарифма положительно только если его аргумент больше 1. Так как логарифм возвращает степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент, то логарифм будет положителен только если его аргумент больше 1. Следовательно, для выполнения данного неравенства оба аргумента должны быть больше 1.

Таким образом, для [tex]log{x}(4-x)[/tex] и [tex]log{x}(x+1)[/tex] одновременно выполняются условия:
[tex]\begin{align}
4-x > 1\
x+1 > 1
\end{align} [/tex]

Решим неравенства:

[tex]4 - x > 1 \Rightarrow 3 > x[/tex][tex]x + 1 > 1 \Rightarrow x > -1[/tex]

С учетом обоих условий, область возможных значений [tex]x[/tex]:
[tex]-1 < x < 3[/tex]