Давайте рассмотрим, как можно выбрать числа на доске, чтобы получить наименьшее возможное значение суммы всех чисел.

Пусть у нас есть 26 чисел a1, a2, ..., a26. Разделим их на группы по 5 чисел каждая. Так как сумма любых пяти чисел не меньше 153, то сумма чисел в каждой группе не меньше 153.

Если мы выберем наименьшие 25 чисел как a1, a2, ..., a25, то сумма всех чисел на доске будет равна:

a1 + a2 + ... + a25 + a26 >= 153*5 + a26 = 765 + a26.

Для нахождения наименьшего значения суммы всех чисел, мы должны минимизировать a26. Но так как все числа являются натуральными, то наименьшее возможное значение для a26 равно 26.

Итак, наименьшее возможное значение суммы всех чисел составляет 765 + 26 = 791.