Это выражение
[\frac{(n-3)^2}{n^2}]
может быть целым числом, только если числитель делится на знаменатель без остатка.
Раскроем скобки в числителе:
[(n-3)^2 = n^2 - 6n + 9]
Теперь выразим это в виде дроби:
[\frac{n^2 - 6n + 9}{n^2}]
Это равно значит, что
нам нужно, чтобы $n^2-6n+9$ был кратен $n^2$.
То есть, чтобы $n^2-6n+9 = kn^2$.
Решим это уравнение и найдем $n$:
[n^2 - 6n + 9 = kn^2
]
[(1 - k)n^2 - 6n + 9 = 0
]
[n^2 - \frac{6}{1-k}n + \frac{9}{1-k} = 0
]
Дискриминант этого квадратного уравнения равен $(-\frac{6}{1-k})^2 - 4\frac{9}{1-k} = \frac{36}{(k-1)^2}-\frac{36}{k-1} = \frac{36(1-k)}{(k-1)^2}$
Для того, чтобы дискриминант был квадратом целого числа, нужно, чтобы $\frac{36(1-k)}{(k-1)^2}$ был полным квадратом.
Отсюда получаем, что $1-k > 0$ (так как дискриминант не может быть отрицательным), следовательно, $k<1$
следовательно, возьмем $k=0$, получаем:
[n^2 - 6n + 9 = 0
]
[(n-3)^2 = 0
]
[n = 3
]
Таким образом, единственным целым n, при котором заданное выражение является целым числом, является 3.