Для решения данного уравнения сначала заменим sinx на t:

3t² + 5t + 2 = 0

Теперь найдем корни данного квадратного уравнения:

D = 5² - 432 = 25 - 24 = 1

t₁ = (-5 + √D) / (23) = (-5 + 1) / 6 = -4 / 6 = -2/3
t₂ = (-5 - √D) / (23) = (-5 - 1) / 6 = -6 / 6 = -1

Таким образом, у нас есть два корня: t₁ = -2/3 и t₂ = -1. Теперь необходимо найти соответствующие им углы x.

Для t₁ = -2/3:
sinx = -2/3

x₁ = arcsin(-2/3) ≈ -0.7297 (не входит в интервал [π/2;2π])

Для t₂ = -1:
sinx = -1

x₂ = arcsin(-1) = -π/2

Итак, единственным корнем уравнения на отрезке [π/2;2π] является x = -π/2.