А) Решение уравнения:

cos(2x+π/4) + cos(2x-π/4) + 4sinx = 2 + √2(1-sinx)

Применим формулу для косинуса суммы двух углов:

cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB

cos(2x+π/4) = cos2xcosπ/4 - sin2xsinπ/4
cos(2x-π/4) = cos2xcos(-π/4) - sin2xsin(-π/4)

cos(2x+π/4) = (√2/2)cos2x - (√2/2)sin2x
cos(2x-π/4) = (√2/2)cos2x + (√2/2)sin2x

Подставляем в уравнение:

(√2/2)cos2x - (√2/2)sin2x + (√2/2)cos2x + (√2/2)sin2x + 4sinx = 2 + √2(1-sinx)

Упрощаем:

√2cos2x + 4sinx = 2 + √2 - √2sinx
√2cos2x + 4sinx = 2 + √2 - √2sinx
√2cos2x + √2sinx = 2 + √2

Преобразуем это уравнение:

cos2x + sinx = 1 + 1/√2

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством:

cos2x = 1 - 2sin^2x

Подставляем это в уравнение:

1 - 2sin^2x + sinx = 1 + 1/√2
-2sin^2x + sinx - 1/√2 = 0

Решая это уравнение, получаем два возможных решения для sinx:

sinx = -0.5 или sinx = 1/√2

Если sinx = -0.5, то x = -π/6 и x = -5π/6.
Если sinx = 1/√2, то x = π/4 и x = 3π/4.

б) Найдем все корни на промежутке [-π/2;4].

На данном промежутке корнями уравнения являются x = -π/6, x = π/4 и x = 3π/4.