Докажем данное утверждение по индукции.
База индукции: при n = 1 получаем (1+4)^4 - (1-4)^4 = 5^4 - (-3)^4 = 625 - 81 = 544, что делится на 32 без остатка.
Предположение индукции: пусть для некоторого k верно, что (k+4)^4-(k-4)^4 делится на 32.
Индукционный переход: докажем, что если из предположения индукции следует, что утверждение верно и для k+1.
((k+1)+4)^4 - ((k+1)-4)^4 = (k+5)^4 - (k-3)^4 = (k^4 + 20k^3 + 150k^2 + 500k + 625) - (k^4 - 12k^3 + 36k^2 - 27) = 32k^3 + 114k^2 + 527k + 652 = 32(k^3 + 3k^2 + 16k + 20).
Последнее выражение делится на 32, следовательно, мы доказали утверждение для всех натуральных n.
Докажем данное утверждение по индукции.
База индукции: при n = 1 получаем (1+4)^4 - (1-4)^4 = 5^4 - (-3)^4 = 625 - 81 = 544, что делится на 32 без остатка.
Предположение индукции: пусть для некоторого k верно, что (k+4)^4-(k-4)^4 делится на 32.
Индукционный переход: докажем, что если из предположения индукции следует, что утверждение верно и для k+1.
((k+1)+4)^4 - ((k+1)-4)^4 = (k+5)^4 - (k-3)^4 = (k^4 + 20k^3 + 150k^2 + 500k + 625) - (k^4 - 12k^3 + 36k^2 - 27) = 32k^3 + 114k^2 + 527k + 652 = 32(k^3 + 3k^2 + 16k + 20).
Последнее выражение делится на 32, следовательно, мы доказали утверждение для всех натуральных n.