Докажем это утверждение по индукции.

База индукции: для n=1, n^3 + n = 1 + 1 = 2 не делится на 10, но n^3 - n = 1 - 1 = 0 делится на 10.

Предположение индукции: пусть для натурального числа k одно из чисел k^3 + k или k^3 - k делится на 10.

Докажем для k+1:

(k+1)^3 + (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + k + 1 = k^3 + 3k^2 + 4k + 2.(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k.

Теперь выразим k^3 в виде (k^3 + k) - k:

k^3 + 3k^2 + 4k + 2 = (k^3 + k) - k + 3k^2 + 4k + 2 = (k^3 + k) + k(3k + 4) + 2.k^3 + 3k^2 + 2k = (k^3 - k) + 4k + 3k^2 = (k^3 - k) + k(3k + 4).

По предположению индукции, одно из чисел k^3 + k или k^3 - k делится на 10. Таким образом, одно из чисел (k+1)^3 + (k+1) или (k+1)^3 - (k+1) делится на 10.

Итак, мы доказали, что для любого натурального числа n хотя бы одно из чисел n^3+n или n^3-n делится на 10.