Пусть сторона основания квадрата равна a, тогда диагональ основания квадрата равна √2a.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a и h (высота) и гипотенузой 7 см, имеем:

a^2 + h^2 = 7^2,
a^2 + h^2 = 49. (1)

Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a и 5 см и гипотенузой √2a, получаем:

a^2 + 5^2 = (√2a)^2,
a^2 + 25 = 2a^2,
25 = a^2. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим a^2 = 25 и a = 5.

Подставляем a = 5 в уравнение (1):

5^2 + h^2 = 49,
25 + h^2 = 49,
h^2 = 24,
h = √24 = 4√6.

Итак, высота параллелепипеда равна 4√6 см.