Дано: a, b > 0

Необходимо доказать неравенство: a²/b + b²/2006 ≥ 4(a - 2006)

Преобразуем левую часть неравенства:

a²/b + b²/2006 = a²/b + b²/2006 + 2ab/2006 - 2ab/2006
= (a² + 2ab)/b + b²/2006 - 2ab/2006
= (a + b)²/b - 2ab/2006

Теперь подставим это обратно в исходное неравенство:

(a + b)²/b - 2ab/2006 ≥ 4(a - 2006)

(a + b)²/b - 2ab/2006 ≥ 4a - 8012

(a + b)² - 2ab2006 ≥ 4ab - 8012 2006

a² + 2ab + b² - 4012 ≥ 4ab - 16071752

a² + b² + 2ab - 4ab ≥ 16071752 - 4012

a² + b² - 2ab ≥ 16067740

(a - b)² ≥ 16067740

(a - b) ≥ √16067740

Таким образом, неравенство a²/b + b²/2006 ≥ 4(a - 2006) не выполняется для всех положительных чисел a и b.