Естественная область определения найдется так, чтобы оба корня не равнялись нулю, а также чтобы знаменатель не равнялся нулю.

Корень из x+7 должен быть неотрицательным: x+7 ≥ 0
↔ x ≥ -7

Знаменатель 2-|x| не должен быть равен нулю:
2-|x| ≠ 0
2 ≠ |x|
x ≠ 2 и x ≠ -2

Итак, естественная область определения: x ∈ (-∞, -7] U (-2, 2) U (2, +∞)