Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Пусть сторона треугольника равна (a = \sqrt{3}).

Полупериметр треугольника (p) равен:
[ p = \dfrac{a + a + a}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} ]

Площадь треугольника (S) можно найти по формуле Герона:
[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - a) \cdot (p - a)} ]

[ S = \sqrt{\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2}} ]
[ S = \sqrt{\dfrac{27 \cdot 27}{16}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} ]

Теперь найдем радиус вписанной окружности при помощи формулы:
[ r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\dfrac{9\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{3}{2} ]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник со стороной (\sqrt{3}), равен (\dfrac{3}{2}).