Для исследования функции y=f(x)=1/2x^3-8x сначала найдем ее производные:

Получаем:
y'=3/2x^2-8 (первая производная)
y''=3x (вторая производная)

Теперь найдем точки экстремума и точки перегиба:

Найдем точки экстремума, приравнивая первую производную к нулю:
3/2x^2-8=0
3/2x^2=8
x^2=16/3
x=±4/√3

Найдем точки перегиба, приравнивая вторую проиводную к нулю:
3x=0
x=0

Теперь построим график функции y=f(x)

(график)
На графике видно, что функция y=f(x) имеет точки экстремума в точках x=4/√3 и x=-4/√3, и точку перегиба в точке x=0.