Выражение ( \frac{n^2 + 5n - 8}{n+3} ) будет целым числом только в том случае, если делится нацело на ( n+3 ).

Таким образом, нужно найти такие натуральные значения переменной ( n ), при которых деление ( n^2 + 5n - 8 ) будет целым по модулю ( n+3 ).

Давайте выразим ( n^2 + 5n - 8 ) как произведение ( n+3 ) на некоторое число ( a ):
[ n^2 + 5n - 8 = (n + 3)a ]
Раскроем скобки:
[ n^2 + 5n - 8 = na + 3a ]
[ n^2 + (5-a)n - 8 = 0 ]

Чтобы это было возможно, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
[ D = (5 - a)^2 + 4 \cdot 8 = 25 - 10a + a^2 + 32 = a^2 - 10a + 57 = 0 ]

Решив это квадратное уравнение, можно найти значения ( a ), и затем подставив их в исходное уравнение, найдем соответствующие значения переменной ( n ).