Для доказательства данного утверждения, найдем минимальное значение выражения x+y.
Имеем неравенство: x^2 + y^2 + 1/2 ≤ x + y
Преобразуем его к виду: x^2 - x + y^2 - y + 1/2 ≤ 0
Заметим, что данное выражение похоже на квадратное уравнение с переменной t: t^2 - t + 1/2 = 0
Находим корни этого уравнения: t = (1 ± √(1 - 411/2)) / 2 = (1 ± √(1 - 2)) / 2 = (1 ± √(-1)) / 2
Нет действительных корней, так как подкоренное выражение отрицательно. Значит, минимальное значение t не достигается и равно ∞.
Следовательно, минимальное значение выражения x + y равно 1 (x+y=1), при котором исходное неравенство выполняется.
Для доказательства данного утверждения, найдем минимальное значение выражения x+y.
Имеем неравенство: x^2 + y^2 + 1/2 ≤ x + y
Преобразуем его к виду: x^2 - x + y^2 - y + 1/2 ≤ 0
Заметим, что данное выражение похоже на квадратное уравнение с переменной t: t^2 - t + 1/2 = 0
Находим корни этого уравнения: t = (1 ± √(1 - 411/2)) / 2 = (1 ± √(1 - 2)) / 2 = (1 ± √(-1)) / 2
Нет действительных корней, так как подкоренное выражение отрицательно. Значит, минимальное значение t не достигается и равно ∞.
Следовательно, минимальное значение выражения x + y равно 1 (x+y=1), при котором исходное неравенство выполняется.